Przejdź do treści
Mam Wynik

Objętość ostrosłupa - wzór i kalkulator z rysunkiem

Wpisz krawędź podstawy i wysokość ostrosłupa albo wysokość ściany bocznej. Zobaczysz rysunek z zaznaczonymi H i h, siatkę, objętość i pole oraz błąd, który kosztuje najwięcej punktów: brak 1/3.

Wybierz bryłę

Możesz wpisać liczbę całkowitą (5), dziesiętną (2,5) albo pierwiastek (√2, 3√2; przycisk √ wstawia znak). Maksymalnie 1000 i dwa miejsca po przecinku.

Przykłady w stylu zadań egzaminacyjnych (kliknij, a dane wstawią się i zostaną policzone)

Nie rozumiesz kroku? Zadaj pytanie

Napisz, co jest niejasne. Nie podawaj imienia ani innych danych osobowych. Pytania czyta redakcja; nic nie pojawia się na stronie bez jej decyzji, a odpowiedzi na częste pytania trafiają do lekcji i na stronę.

Bez e-maila nie odpowiemy osobiście – odpowiedzi na częste pytania pokazujemy w lekcjach i na stronie.

Jeśli masz mniej niż 16 lat, nie podawaj e-maila: wyślij pytanie bez niego (nie odpowiemy wtedy osobiście, ale może zostać tematem lekcji) albo poproś rodzica o napisanie ze swojego adresu.

Administrator: Karol Czarniecki Nadlot. Kontakt: [email protected]. Cel i podstawa: pytanie, rolę i e-mail (jeśli go podasz) wykorzystamy tylko po to, żeby odpowiedzieć (art. 6 ust. 1 lit. f RODO). Przechowujemy do 12 miesięcy. Twoje prawa i pełne dane administratora: Polityka prywatności.

Jeśli podasz e-mail, odpowiadamy zwykle w ciągu 2 dni roboczych.

O czym jest ta strona?

Objętość ostrosłupa to miara przestrzeni zajmowanej przez tę bryłę, którą oblicza się ze wzoru V = 1/3 · Pp · H.

Jak wygląda wzór na objętość ostrosłupa i skąd bierze się ułamek 1/3?

Ostrosłup ma jedną podstawę i ściany boczne będące trójkątami. Wzór na objętość ostrosłupa to V = 1/3 · Pp · H. Pp to pole podstawy, a H to wysokość ostrosłupa.

Sześcian o krawędzi a można podzielić na 6 jednakowych ostrosłupów prawidłowych czworokątnych. Podział ten otrzymujemy, łącząc środka sześcianu z wierzchołkami. Każdy z tych ostrosłupów ma podstawę a² i wysokość a/2. Objętość jednego takiego ostrosłupa to 1/3 · a² · a/2, co daje a³/6. Zgadza się to ze wzorem z ułamkiem 1/3. Ostrosłup mieści się też w graniastosłupie o tej samej podstawie i wysokości dokładnie 3 razy.

Czym różni się wysokość ostrosłupa H od wysokości ściany bocznej h?

Wysokość ostrosłupa H to odcinek od wierzchołka do środka podstawy. Wysokość ściany bocznej h to odcinek od wierzchołka do środka krawędzi podstawy. To dwie różne długości.

W ostrosłupie prawidłowym czworokątnym o krawędzi podstawy a zachodzi zależność h² = H² + (a/2)². Pole boczne liczy się ze wzoru Pb = 4 · 1/2 · a · h, co daje 2ah.

Gdy znasz krawędź a = 10 i wysokość ściany bocznej h = 13 w ostrosłupie czworokątnym, to H² wynosi 169 − 25, czyli 144. Wtedy H wynosi 12, a objętość V wynosi 400.

Jak obliczyć wysokość z twierdzenia Pitagorasa w ostrosłupie trójkątnym?

W ostrosłupie prawidłowym trójkątnym o krawędzi podstawy a pole podstawy wynosi Pp = a²√3/4. Odległość środka podstawy od krawędzi to r = a√3/6. Wysokość ściany bocznej liczymy z twierdzenia Pitagorasa: h² = H² + r².

Dla przykładu, gdy a = 6 oraz H = 5, pole podstawy wynosi Pp = 9√3. Wtedy h² wynosi 25 + 3, czyli 28, a wysokość h wynosi 2√7. Pole boczne wynosi Pb = 18√7, a objętość V wynosi 15√3, co w przybliżeniu daje 25,98.

Jakie są typowe błędy przy obliczaniu objętości ostrosłupa?

Najczęstszy błąd to brak ułamka 1/3 we wzorze na objętość ostrosłupa. Wtedy wynik jest 3 razy za duży. Inny częsty błąd to pomylenie wysokości ostrosłupa H z wysokością ściany bocznej h.

Pamiętaj, że objętość mierzymy w jednostkach sześciennych, takich jak cm³. Używanie jednostek kwadratowych zamiast sześciennych to kolejny błąd.

Narzędzie przyjmuje liczby całkowite, dziesiętne i pierwiastki. Wynik podaje dokładnie i przybliżenie.

Jak to wygląda na przykładach?

Przykład 1: Ostrosłup prawidłowy czworokątny

Ostrosłup prawidłowy czworokątny ma krawędź podstawy 6 cm i wysokość 4 cm. Oblicz jego objętość i pole powierzchni całkowitej.

  1. Wysokość ściany bocznej h z twierdzenia Pitagorasa: h = √25 = 5
  2. Pole podstawy: Pp = a² = 6² = 36
  3. Pole powierzchni bocznej: Pb = 2 · a · h = 2 · 6 · 5 = 60
  4. Pole powierzchni całkowitej: Pc = Pp + Pb = 36 + 60 = 96
  5. Objętość: V = 1/3 · Pp · H = 1/3 · 36 · 4 = 48
  6. Jednostki: 1 litr to 1 dm³ = 1000 cm³, więc V = 48 cm³ = 48 : 1000 dm³ = 0,048 dm³ = 0,048 l.

Odpowiedź: Pp = 36 cm²; Pb = 60 cm²; Pc = 96 cm²; V = 48 cm³ (= 0,048 l). Policz ten przykład w kalkulatorze

Przykład 2: Ostrosłup w sześcianie

Środek sześcianu o krawędzi 6 cm połączono z wierzchołkami jednej ściany. Powstał ostrosłup prawidłowy czworokątny o wysokości 3 cm (połowa krawędzi sześcianu). Oblicz jego objętość i pole powierzchni.

  1. Wysokość ściany bocznej h z twierdzenia Pitagorasa: h = √18 = √9 · 2 = 3√2
  2. Pole podstawy: Pp = a² = 6² = 36
  3. Pole powierzchni bocznej: Pb = 2 · a · h = 2 · 6 · (3√2) = 36√2
  4. Pole powierzchni całkowitej: Pc = Pp + Pb = 36 + 36√2
  5. Objętość: V = 1/3 · Pp · H = 1/3 · 36 · 3 = 36
  6. Jednostki: 1 litr to 1 dm³ = 1000 cm³, więc V = 36 cm³ = 36 : 1000 dm³ = 0,036 dm³ = 0,036 l.

Odpowiedź: Pp = 36 cm²; Pb = 36√2 ≈ 50,91 cm²; Pc = 36 + 36√2 ≈ 86,91 cm²; V = 36 cm³ (= 0,036 l). Policz ten przykład w kalkulatorze

Przykład 3: Ostrosłup, gdy znasz h

Ostrosłup prawidłowy czworokątny ma krawędź podstawy 10 cm, a wysokość jego ściany bocznej ma 13 cm. Oblicz objętość i pole powierzchni całkowitej.

  1. Wysokość ostrosłupa H z twierdzenia Pitagorasa: H = √144 = 12
  2. Pole podstawy: Pp = a² = 10² = 100
  3. Pole powierzchni bocznej: Pb = 2 · a · h = 2 · 10 · 13 = 260
  4. Pole powierzchni całkowitej: Pc = Pp + Pb = 100 + 260 = 360
  5. Objętość: V = 1/3 · Pp · H = 1/3 · 100 · 12 = 400
  6. Jednostki: 1 litr to 1 dm³ = 1000 cm³, więc V = 400 cm³ = 400 : 1000 dm³ = 0,4 dm³ = 0,4 l.

Odpowiedź: Pp = 100 cm²; Pb = 260 cm²; Pc = 360 cm²; V = 400 cm³ (= 0,4 l). Policz ten przykład w kalkulatorze

Przykład 4: Ostrosłup prawidłowy trójkątny

Ostrosłup prawidłowy trójkątny ma krawędź podstawy 6 cm i wysokość 5 cm. Oblicz jego objętość i pole powierzchni całkowitej.

  1. Wysokość trójkąta w podstawie i odległość środka od krawędzi: r² = a²/12 = 36/12 = 3
  2. Wysokość ściany bocznej h z twierdzenia Pitagorasa: h = √28 = √4 · 7 = 2√7
  3. Pole podstawy: Pp = 1/2 · a · hp = 1/2 · 6 · (3√3) = 9√3
  4. Pole powierzchni bocznej: Pb = 3 · 1/2 · a · h = 3 · 1/2 · 6 · (2√7) = 18√7
  5. Pole powierzchni całkowitej: Pc = Pp + Pb = 9√3 + 18√7
  6. Objętość: V = 1/3 · Pp · H = 1/3 · (9√3) · 5 = 15√3
  7. Jednostki: 1 litr to 1 dm³ = 1000 cm³, więc V = 15√3 cm³ = 15√3 : 1000 dm³ = 0,015√3 dm³ = 0,015√3 l.

Odpowiedź: Pp = 9√3 ≈ 15,59 cm²; Pb = 18√7 ≈ 47,62 cm²; Pc = 9√3 + 18√7 ≈ 63,21 cm²; V = 15√3 ≈ 25,98 cm³ (= ok. 0,0260 l). Policz ten przykład w kalkulatorze

Co o bryłach mówi podstawa programowa i egzamin?

Według rozporządzenie MEN z 28.06.2024 (Dz.U. 2024 poz. 996) (dział XI „Geometria przestrzenna”) uczeń klas VII-VIII oblicza objętości i pola powierzchni graniastosłupów prostych i prawidłowych oraz objętości ostrosłupów i pola powierzchni ostrosłupów prawidłowych.

W egzaminie ósmoklasisty 2026 zadanie 18 dotyczyło objętości ostrosłupa wpisanego w sześcian: pole podstawy ostrosłupa było połową pola podstawy sześcianu, a jego wysokość połową wysokości sześcianu. Poziom wykonania tego zadania wyniósł 15%, a to najtrudniejsze zadanie w całym arkuszu (sprawozdanie CKE z egzaminu 2026, s. 63).

W praktyce oznacza to, że objętość ostrosłupa liczy się mnożąc pole podstawy przez wysokość ostrosłupa i dzieląc wynik przez trzy.

Pytania i odpowiedzi

Czym się różni H od h w ostrosłupie?

Wysokość ostrosłupa H to odcinek od wierzchołka do środka podstawy. Wysokość ściany bocznej h to odcinek od wierzchołka do środka krawędzi podstawy.

Skąd bierze się ułamek 1/3 we wzorze na objętość ostrosłupa?

Sześcian o krawędzi a składa się z 6 jednakowych ostrosłupów o podstawie a² i wysokości a/2. Każdy ma objętość a³/6, czyli 1/3 · a² · a/2. Wzór z ułamkiem 1/3 zgadza się więc z objętością sześcianu.

W jakich jednostkach podaje się objętość ostrosłupa?

Objętość podaje się w jednostkach sześciennych, na przykład w centymetrach sześciennych. Jeden litr to jeden decymetr sześcienny, czyli tysiąc centymetrów sześciennych.

Zobacz też

Zakres: podstawa programowa matematyki dla szkoły podstawowej, rozporządzenie MEN z 28.06.2024 (Dz.U. 2024 poz. 996). Każdy wynik sprawdzamy kilka razy. Autor: Karol Czarniecki, wydawca: Mam Wynik (o autorze).

Co dalej?

Kalkulator działa w przeglądarce i niczego nie zapisuje. Każdy wynik sprawdzamy kilka razy.