Przejdź do treści
Mam Wynik

Bryły z siatką: pole powierzchni i objętość krok po kroku

Wybierz bryłę i wpisz wymiary. Zobaczysz rysunek bryły i jej siatkę w skali, kolory ścian takie same jak w obliczeniach, wynik dokładny (np. 36 + 36√2) i przybliżony oraz typowe błędy policzone na twoich liczbach.

Wybierz bryłę

Możesz wpisać liczbę całkowitą (5), dziesiętną (2,5) albo pierwiastek (√2, 3√2; przycisk √ wstawia znak). Maksymalnie 1000 i dwa miejsca po przecinku.

Przykłady w stylu zadań egzaminacyjnych (kliknij, a dane wstawią się i zostaną policzone)

Nie rozumiesz kroku? Zadaj pytanie

Napisz, co jest niejasne. Nie podawaj imienia ani innych danych osobowych. Pytania czyta redakcja; nic nie pojawia się na stronie bez jej decyzji, a odpowiedzi na częste pytania trafiają do lekcji i na stronę.

Bez e-maila nie odpowiemy osobiście – odpowiedzi na częste pytania pokazujemy w lekcjach i na stronie.

Jeśli masz mniej niż 16 lat, nie podawaj e-maila: wyślij pytanie bez niego (nie odpowiemy wtedy osobiście, ale może zostać tematem lekcji) albo poproś rodzica o napisanie ze swojego adresu.

Administrator: Karol Czarniecki Nadlot. Kontakt: [email protected]. Cel i podstawa: pytanie, rolę i e-mail (jeśli go podasz) wykorzystamy tylko po to, żeby odpowiedzieć (art. 6 ust. 1 lit. f RODO). Przechowujemy do 12 miesięcy. Twoje prawa i pełne dane administratora: Polityka prywatności.

Jeśli podasz e-mail, odpowiadamy zwykle w ciągu 2 dni roboczych.

O czym jest ta strona?

Siatka bryły to płaska figura złożona ze wszystkich ścian bryły, która po złożeniu daje bryłę. Kalkulator na tej stronie pomaga obliczyć pole powierzchni i objętość graniastosłupów prostych oraz ostrosłupów prawidłowych.

Czym jest siatka bryły i jak działa narzędzie?

Siatka bryły to płaska figura złożona ze wszystkich ścian bryły. Po złożeniu taka siatka daje bryłę.

Narzędzie na stronie przyjmuje liczby całkowite, dziesiętne i pierwiastki. Przykładem są zapisy takie jak √2 oraz 3√2.

Wynik jest podany dokładnie, na przykład 36 + 36√2, i przybliżony.

Narzędzie niczego nie zapisuje w przeglądarce. Do dyspozycji masz rysunek bryły, siatkę oraz rozwiązanie krok po kroku.

Jak obliczyć pole i objętość graniastosłupa prostego?

Graniastosłup prosty ma dwie jednakowe podstawy w formie wielokątów oraz ściany boczne będące prostokątami. Wysokość graniastosłupa oznaczamy literą H.

Wzory dla graniastosłupa prostego obejmują pole boczne Pb jako obwód podstawy razy H. Pole całkowite Pc liczymy jako 2 · Pp + Pb. Objętość V to Pp · H.

Dla sześcianu o krawędzi a mamy 6 jednakowych ścian. Wtedy Pc = 6a², a objętość to V = a³.

Typowe błędy to zapomniane dwie podstawy w polu graniastosłupa oraz pominięta ściana boczna.

Jakie są wzory dla ostrosłupa prawidłowego?

Ostrosłup prawidłowy ma w podstawie wielokąt foremny. Jego wierzchołek leży nad środkiem podstawy. Ostrosłup ma jedną podstawę, więc pole całkowite to Pc = Pp + Pb. Objętość to V = 1/3 · Pp · H.

Wysokość ostrosłupa H to odcinek od wierzchołka do środka podstawy. Wysokość ściany bocznej h to odcinek od wierzchołka do środka krawędzi podstawy. To dwie różne długości.

W ostrosłupie prawidłowym czworokątnym o krawędzi podstawy a zachodzi wzór h² = H² + (a/2)² oraz Pb = 4 · 1/2 · a · h = 2ah.

Typowe błędy to brak ułamka 1/3 w objętości ostrosłupa oraz pomylenie wysokości H z wysokością h.

Jakie jednostki stosujemy w zadaniach z geometrii przestrzennej?

Pole powierzchni mierzymy w jednostkach kwadratowych, takich jak cm². Objętość mierzymy w jednostkach sześciennych, takich jak cm³.

Pamiętaj, że 1 litr to 1 dm³, czyli 1000 cm³.

Typowe błędy to podawanie jednostek kwadratowych zamiast sześciennych przy objętości.

Podstawa programowa dla klas VII i VIII z działu geometrycznego obejmuje obliczanie objętości i pól powierzchni graniastosłupów prostych oraz ostrosłupów prawidłowych.

Jak to wygląda na przykładach?

Przykład 1: Pudełko

Pudełko ma kształt prostopadłościanu o wymiarach 12 cm, 5 cm i 4 cm. Oblicz pole powierzchni całkowitej pudełka i jego objętość.

  1. Pole podstawy: Pp = a · b = 12 · 5 = 60
  2. Pole powierzchni bocznej: Pb = Ob · H = 34 · 4 = 136
  3. Pole powierzchni całkowitej: Pc = 2 · Pp + Pb = 2 · 60 + 136 = 256
  4. Objętość: V = Pp · H = 60 · 4 = 240
  5. Jednostki: 1 litr to 1 dm³ = 1000 cm³, więc V = 240 cm³ = 240 : 1000 dm³ = 0,24 dm³ = 0,24 l.

Odpowiedź: Pp = 60 cm²; Pb = 136 cm²; Pc = 256 cm²; V = 240 cm³ (= 0,24 l). Policz ten przykład w kalkulatorze

Przykład 2: Akwarium (litry)

Akwarium ma kształt prostopadłościanu o wymiarach 80 cm, 30 cm i 40 cm. Ile litrów wody mieści się w akwarium po brzegi?

  1. Pole podstawy: Pp = a · b = 80 · 30 = 2400
  2. Pole powierzchni bocznej: Pb = Ob · H = 220 · 40 = 8800
  3. Pole powierzchni całkowitej: Pc = 2 · Pp + Pb = 2 · 2400 + 8800 = 13600
  4. Objętość: V = Pp · H = 2400 · 40 = 96000
  5. Jednostki: 1 litr to 1 dm³ = 1000 cm³, więc V = 96000 cm³ = 96000 : 1000 dm³ = 96 dm³ = 96 l.

Odpowiedź: Pp = 2400 cm²; Pb = 8800 cm²; Pc = 13600 cm²; V = 96000 cm³ (= 96 l). Policz ten przykład w kalkulatorze

Przykład 3: Ostrosłup w sześcianie

Środek sześcianu o krawędzi 6 cm połączono z wierzchołkami jednej ściany. Powstał ostrosłup prawidłowy czworokątny o wysokości 3 cm (połowa krawędzi sześcianu). Oblicz jego objętość i pole powierzchni.

  1. Wysokość ściany bocznej h z twierdzenia Pitagorasa: h = √18 = √9 · 2 = 3√2
  2. Pole podstawy: Pp = a² = 6² = 36
  3. Pole powierzchni bocznej: Pb = 2 · a · h = 2 · 6 · (3√2) = 36√2
  4. Pole powierzchni całkowitej: Pc = Pp + Pb = 36 + 36√2
  5. Objętość: V = 1/3 · Pp · H = 1/3 · 36 · 3 = 36
  6. Jednostki: 1 litr to 1 dm³ = 1000 cm³, więc V = 36 cm³ = 36 : 1000 dm³ = 0,036 dm³ = 0,036 l.

Odpowiedź: Pp = 36 cm²; Pb = 36√2 ≈ 50,91 cm²; Pc = 36 + 36√2 ≈ 86,91 cm²; V = 36 cm³ (= 0,036 l). Policz ten przykład w kalkulatorze

Przykład 4: Trójkąt równoramienny w podstawie

Podstawą graniastosłupa prostego jest trójkąt prostokątny o przyprostokątnych 5 cm i 5 cm. Wysokość graniastosłupa to 8 cm. Oblicz pole powierzchni całkowitej i objętość.

  1. Trzeci bok z twierdzenia Pitagorasa: c = √50 = √25 · 2 = 5√2
  2. Pole podstawy: Pp = 1/2 · a · b = 1/2 · 5 · 5 = 12,5
  3. Pole powierzchni bocznej: Pb = Ob · H = (10 + 5√2) · 8 = 80 + 40√2
  4. Pole powierzchni całkowitej: Pc = 2 · Pp + Pb = 2 · 12,5 + 80 + 40√2 = 105 + 40√2
  5. Objętość: V = Pp · H = 12,5 · 8 = 100
  6. Jednostki: 1 litr to 1 dm³ = 1000 cm³, więc V = 100 cm³ = 100 : 1000 dm³ = 0,1 dm³ = 0,1 l.

Odpowiedź: Pp = 12,5 cm²; Pb = 80 + 40√2 ≈ 136,57 cm²; Pc = 105 + 40√2 ≈ 161,57 cm²; V = 100 cm³ (= 0,1 l). Policz ten przykład w kalkulatorze

Przykład 5: Ostrosłup, gdy znasz h

Ostrosłup prawidłowy czworokątny ma krawędź podstawy 10 cm, a wysokość jego ściany bocznej ma 13 cm. Oblicz objętość i pole powierzchni całkowitej.

  1. Wysokość ostrosłupa H z twierdzenia Pitagorasa: H = √144 = 12
  2. Pole podstawy: Pp = a² = 10² = 100
  3. Pole powierzchni bocznej: Pb = 2 · a · h = 2 · 10 · 13 = 260
  4. Pole powierzchni całkowitej: Pc = Pp + Pb = 100 + 260 = 360
  5. Objętość: V = 1/3 · Pp · H = 1/3 · 100 · 12 = 400
  6. Jednostki: 1 litr to 1 dm³ = 1000 cm³, więc V = 400 cm³ = 400 : 1000 dm³ = 0,4 dm³ = 0,4 l.

Odpowiedź: Pp = 100 cm²; Pb = 260 cm²; Pc = 360 cm²; V = 400 cm³ (= 0,4 l). Policz ten przykład w kalkulatorze

Co o bryłach mówi podstawa programowa i egzamin?

Według rozporządzenie MEN z 28.06.2024 (Dz.U. 2024 poz. 996) (dział XI „Geometria przestrzenna”) uczeń klas VII-VIII oblicza objętości i pola powierzchni graniastosłupów prostych i prawidłowych oraz objętości ostrosłupów i pola powierzchni ostrosłupów prawidłowych.

W egzaminie ósmoklasisty 2026 zadanie 18 dotyczyło objętości ostrosłupa wpisanego w sześcian: pole podstawy ostrosłupa było połową pola podstawy sześcianu, a jego wysokość połową wysokości sześcianu. Poziom wykonania tego zadania wyniósł 15%, a to najtrudniejsze zadanie w całym arkuszu (sprawozdanie CKE z egzaminu 2026, s. 63).

W praktyce oznacza to, że narzędzie oblicza pole powierzchni i objętość brył na podstawie wprowadzonych danych, podając wynik krok po kroku w jednostkach kwadratowych lub sześciennych.

Pytania i odpowiedzi

Czym różni się wysokość ostrosłupa H od wysokości ściany bocznej h?

Wysokość ostrosłupa H to odcinek od wierzchołka do środka podstawy. Wysokość ściany bocznej h to odcinek od wierzchołka do środka krawędzi podstawy, czyli są to dwie różne długości.

Jakie jednostki należy stosować do pola i objętości?

Pole powierzchni mierzymy w jednostkach kwadratowych, na przykład cm². Objętość mierzymy w jednostkach sześciennych, na przykład cm³.

Jakie dane przyjmuje narzędzie?

Narzędzie przyjmuje liczby całkowite, dziesiętne i pierwiastki, takie jak √2 oraz 3√2.

Zobacz też

Zakres: podstawa programowa matematyki dla szkoły podstawowej, rozporządzenie MEN z 28.06.2024 (Dz.U. 2024 poz. 996). Każdy wynik sprawdzamy kilka razy. Autor: Karol Czarniecki, wydawca: Mam Wynik (o autorze).

Co dalej?

Kalkulator działa w przeglądarce i niczego nie zapisuje. Każdy wynik sprawdzamy kilka razy.