Objętość i pole ostrosłupa – kalkulator
Ostrosłup prawidłowy czworokątny: podstawa to kwadrat, a wierzchołek jest dokładnie nad jego środkiem. Wpisz krawędź podstawy i wysokość albo przesuń suwaki.
Trzy sposoby, ten sam wynik
Sposób 1 · Wzór
V = 1/3 · Pp · H
Pp = a² = 6² = 36
V = 1/3 · 36 · 4 = 48
Sposób 2 · 1/3 graniastosłupa
Graniastosłup o tej samej podstawie i wysokości: 36 · 4 = 144.
Ostrosłup mieści się w nim 3 razy: gdy trzy razy wlejemy wodę z pełnego ostrosłupa, graniastosłup napełni się do pełna.
V = 144 : 3 = 48
Sposób 3 · 6 ostrosłupów w sześcianie
Łączymy środek sześcianu o krawędzi 6 z jego 8 wierzchołkami – sześcian rozpada się na 6 jednakowych ostrosłupów. Podstawą każdego jest ściana sześcianu (kwadrat 6 × 6, taki jak u nas), a wysokość to 3.
Jeden taki ostrosłup: 6³ : 6 = 216 : 6 = 36.
Nasz ma wysokość 4 zamiast 3. Rozciągamy go w górę – objętość rośnie tyle razy, co wysokość (każda cienka warstwa zmienia grubość tyle samo razy): 36 · 4 : 3 = 48
Wysokość ściany bocznej (twierdzenie Pitagorasa): h² = H² + (a/2)² = 4² + 3² = 25, więc h = 5
Pole boczne: 4 trójkąty po a · h : 2, czyli 4 · 6 · 5 : 2 = 60
Pole całkowite: Pc = Pp + Pb = 36 + 60 = 96
Jak obliczyć objętość ostrosłupa?
Objętość ostrosłupa to jedna trzecia pola podstawy razy wysokość: V = 1/3 · Pp · H. Dla podstawy 6 × 6 i wysokości 4: Pp = 36, a V = 1/3 · 36 · 4 = 48.
Wzór działa dla każdego ostrosłupa – z podstawą trójkątną, kwadratową czy sześciokątną. Zmienia się tylko sposób liczenia pola podstawy.
Skąd się bierze 1/3 we wzorze?
Graniastosłup o tej samej podstawie i wysokości ma objętość Pp · H. Ostrosłup mieści się w nim dokładnie 3 razy: trzy razy wlana woda z pełnego ostrosłupa napełnia graniastosłup. Widać to też w sześcianie: gdy połączymy środek sześcianu z jego 8 wierzchołkami, sześcian rozpada się na 6 jednakowych ostrosłupów. Podstawą każdego jest jedna ściana, a wysokość to a/2, więc każdy ma objętość a³ : 6 = 1/3 · a² · a/2.
Jak obliczyć pole powierzchni ostrosłupa?
Pole całkowite to pole podstawy plus pola ścian bocznych: Pc = Pp + Pb. W ostrosłupie prawidłowym czworokątnym ściany boczne to 4 jednakowe trójkąty o podstawie a i wysokości h. Wysokość ściany h liczymy z twierdzenia Pitagorasa: h² = H² + (a/2)². Dla a = 6 i H = 4: h² = 16 + 9 = 25, h = 5, Pb = 4 · 6 · 5 : 2 = 60, a Pc = 36 + 60 = 96.
Ostrosłup na egzaminie ósmoklasisty
Objętość i pole ostrosłupa są w podstawie programowej klas VII–VIII (dział „Geometria przestrzenna”) i pojawiają się na egzaminie ósmoklasisty. W 2026 r. zadanie 18 z ostrosłupem okazało się najtrudniejszym zadaniem w całym arkuszu: trzeba było obliczyć, ile razy objętość ostrosłupa zbudowanego w sześcianie o krawędzi a jest mniejsza od objętości sześcianu. W całym kraju uczniowie zdobyli w nim średnio 15% możliwych punktów, a komplet – około 11% (sprawozdanie CKE z egzaminu ósmoklasisty z matematyki 2026). Częsty błąd: pominięcie 1/3 we wzorze (OKE w Krakowie).
Jaki błąd robi się najczęściej?
Zapominanie o 1/3 – wtedy wynik jest 3 razy za duży, bo to objętość graniastosłupa. Drugi błąd to pomylenie wysokości ostrosłupa H (od wierzchołka do środka podstawy) z wysokością ściany bocznej h (od wierzchołka do środka krawędzi podstawy).
Kalkulator liczy w przeglądarce i niczego nie wysyła. Liczby wpisuj z najwyżej 2 cyframi po przecinku. Znalazłeś błąd? Napisz: kontakt@mamwynik.pl.