Pitagoras z rysunkiem: kalkulator, który pokazuje trójkąt i kroki
Wybierz, którego boku szukasz, i wpisz dwa boki. Zobaczysz trójkąt prostokątny w skali, wynik dokładny i przybliżony oraz każdy krok rachunku, z podpowiedzią przy typowych błędach.
Nie rozumiesz kroku? Zadaj pytanie
Napisz, co jest niejasne. Nie podawaj imienia ani innych danych osobowych. Pytania czyta redakcja; nic nie pojawia się na stronie bez jej decyzji, a odpowiedzi na częste pytania trafiają do lekcji i na stronę.
O czym jest ta strona?
Twierdzenie Pitagorasa to zasada mówiąca, że w trójkącie prostokątnym kwadrat długości przeciwprostokątnej c jest równy sumie kwadratów długości przyprostokątnych a i b.
Jak działa wzór a² + b² = c²?
W trójkącie prostokątnym przeciwprostokątna leży naprzeciw kąta prostego. Jest to najdłuższy bok. Przyprostokątne to dwa krótsze boki, które tworzą kąt prosty. Zależność między nimi opisuje wzór a² + b² = c². Gdy szukasz przeciwprostokątnej, musisz dodać kwadraty przyprostokątnych i wyciągnąć pierwiastek. Dla a = 3 i b = 4 masz 9 + 16 = 25, więc c = 5. Gdy szukasz przyprostokątnej, kwadraty odejmujesz. Wzór ma postać b² = c² − a². Dla c = 13 i a = 5 masz 169 − 25 = 144, więc b = 12.
Kiedy pod pierwiastkiem nie ma kwadratu liczby całkowitej, wynik zostaje z pierwiastkiem. Dla a = 5 i b = 5 otrzymujesz c² = 50. Wtedy √50 = √(25 · 2) = 5√2, co daje w przybliżeniu 7,07.
Jak korzystać z narzędzia do rysunków i obliczeń?
Narzędzie na stronie przyjmuje liczby całkowite, liczby dziesiętne oraz pierwiastki. Możesz wpisać na przykład √2 albo 3√2. Długości boków możesz podać w centymetrach lub w metrach. Wybierasz, którego boku szukasz, i wpisujesz dwa znane boki. Narzędzie rysuje trójkąt prostokątny w skali. Pokazuje on również kwadraty zbudowane na bokach. Pole kwadratu na przeciwprostokątnej jest równe sumie pól kwadratów na przyprostokątnych. Narzędzie niczego nie zapisuje w Twojej przeglądarce.
Jeżeli przyprostokątna jest dłuższa od przeciwprostokątnej, to oznacza, że boki podano w złej kolejności.
Czym są trójki pitagorejskie i jakie są typowe błędy?
Trójka pitagorejska to trzy liczby całkowite, które spełniają równanie a² + b² = c². Przykłady takich liczb to 3, 4, 5 oraz 5, 12, 13. Inne zestawy to 8, 15, 17 oraz 7, 24, 25. Znajomość tych liczb przyspiesza rozwiązywanie zadań.
Podczas obliczeń często pojawiają się błędy. Najczęstszy błąd to proste dodanie długości boków zamiast ich kwadratów. Na przykład dodanie 3 + 4 daje 7, podczas gdy poprawny wynik c to 5. Inny błąd to dodawanie kwadratów w sytuacji, gdy szukamy przyprostokątnej i musimy odejmować. Często zapomina się także o wyciągnięciu pierwiastka na samym końcu, przez co liczba 25 jest traktowana jako ostateczna długość c, a nie jako c².
Jak to wygląda na przykładach?
Przykład 1: Drabina
- Podstawiamy długości boków: 3² + b² = 5²
- Obliczamy kwadraty: 9 + b² = 25
- Odejmujemy kwadrat znanej przyprostokątnej: b² = 25 − 9 = 16
- Wyciągamy pierwiastek: √16 = 4, bo 4² = 16.
Odpowiedź: Szukana przyprostokątna b = 4 m. Policz ten przykład w kalkulatorze
Przykład 2: Ekran
- Podstawiamy długości boków: 16² + 9² = d²
- Obliczamy kwadraty: 256 + 81 = d²
- Dodajemy kwadraty: d² = 337
- Wyciągamy pierwiastek: d = √337
- Wartość przybliżona: d = √337 ≈ 18,36 cm
Odpowiedź: Przekątna prostokąta d = √337 ≈ 18,36 cm. Policz ten przykład w kalkulatorze
Przykład 3: Trójkąt równoramienny
- Podstawiamy długości boków: 5² + 5² = c²
- Obliczamy kwadraty: 25 + 25 = c²
- Dodajemy kwadraty: c² = 50
- Wyciągamy pierwiastek: c = 5√2
- Wartość przybliżona: c = 5√2 ≈ 7,07 cm
Odpowiedź: Przeciwprostokątna c = 5√2 ≈ 7,07 cm. Policz ten przykład w kalkulatorze
Przykład 4: Boki dziesiętne
- Podstawiamy długości boków: (1,5)² + 2² = c²
- Obliczamy kwadraty: 2,25 + 4 = c²
- Dodajemy kwadraty: c² = 6,25
- Wyciągamy pierwiastek: c = √6,25 = 2,5
Odpowiedź: Przeciwprostokątna c = 2,5 m. Policz ten przykład w kalkulatorze
Co o Pitagorasie mówi podstawa programowa?
Według rozporządzenie MEN z 28.06.2024 (Dz.U. 2024 poz. 996) uczeń klas VII-VIII "zna i stosuje w sytuacjach praktycznych twierdzenie Pitagorasa (bez twierdzenia odwrotnego)". Ten sam dział wymaga też wyłączania liczby przed znak pierwiastka, dlatego wyniki takie jak 5√2 są w zadaniach zwyczajne. W egzaminie ósmoklasisty 2026 zadanie 20 łączyło obliczenia z użyciem twierdzenia Pitagorasa z działaniami na pierwiastkach i obwodem wielokąta (sprawozdanie CKE z egzaminu 2026).
W praktyce oznacza to, że przy obliczaniu boków trójkąta prostokątnego musisz prawidłowo dobierać działania na kwadratach długości.
Pytania i odpowiedzi
Co to jest trójka pitagorejska?
To trzy liczby całkowite, które spełniają równanie a² + b² = c², na przykład 3, 4 oraz 5.
Co zrobić, gdy wynik nie jest liczbą całkowitą?
Wynik zostaje w postaci pierwiastka, na przykład jako 5√2, lub w postaci przybliżonej liczby dziesiętnej.
Jakie dane można wpisać do narzędzia?
Możesz wpisać liczby całkowite, liczby dziesiętne oraz pierwiastki z podaniem jednostek w centymetrach lub metrach.
Zobacz też
- Twierdzenie Pitagorasa: kalkulator przeciwprostokątnej i przyprostokątnej
- Przekątna kwadratu: wzór, kalkulator i wysokość trójkąta równobocznego
Zakres: podstawa programowa matematyki dla szkoły podstawowej, rozporządzenie MEN z 28.06.2024 (Dz.U. 2024 poz. 996). Każdy wynik sprawdzamy kilka razy. Autor: Karol Czarniecki, wydawca: Mam Wynik (o autorze).
Co dalej?
Kalkulator działa w przeglądarce i niczego nie zapisuje. Każdy wynik sprawdzamy kilka razy.