Przekątna kwadratu - wzór i kalkulator
Wpisz bok kwadratu, a zobaczysz przekątną wraz z wyprowadzeniem wzoru z twierdzenia Pitagorasa. Ten sam kalkulator liczy przekątną prostokąta i wysokość trójkąta równobocznego.
Nie rozumiesz kroku? Zadaj pytanie
Napisz, co jest niejasne. Nie podawaj imienia ani innych danych osobowych. Pytania czyta redakcja; nic nie pojawia się na stronie bez jej decyzji, a odpowiedzi na częste pytania trafiają do lekcji i na stronę.
O czym jest ta strona?
Przekątna kwadratu to odcinek łączący dwa przeciwległe wierzchołki, którego długość wynosi d = a√2.
Jak obliczyć przekątną kwadratu
Przekątna kwadratu o boku a dzieli go na dwa trójkąty prostokątne równoramienne. Boki kwadratu są przyprostokątnymi, a przekątna d jest przeciwprostokątną. Z twierdzenia Pitagorasa wynika równanie d² = a² + a² = 2a². Ostateczny wzór ma postać d = a√2.
Przykładowo, dla boku o długości 10 przekątna wynosi 10√2, co w przybliżeniu daje 14,14. Dla boku o długości 1 przekątna wynosi √2, czyli około 1,41. Przekątna kwadratu jest krótsza niż dwa boki, ponieważ wyrażenie a√2 jest mniejsze niż 2a. Wynika to z faktu, że liczba √2 jest mniejsza niż 2.
Jak obliczyć wysokość trójkąta równobocznego
Wysokość trójkąta równobocznego o boku a dzieli tę figurę na dwa trójkąty prostokątne. W tych trójkątach przeciwprostokątna ma długość a, a jedna przyprostokątna ma długość a/2. Z twierdzenia Pitagorasa otrzymujemy h² = a² − (a/2)² = 3a²/4. Po spierwiastkowaniu otrzymujemy wzór h = a√3/2.
Jeżeli bok ma długość 6, to wysokość wynosi 3√3, co w przybliżeniu daje 5,20. Wzory d = a√2 oraz h = a√3/2 wynikają bezpośrednio z twierdzenia Pitagorasa. Oznacza to, że każdy z tych wzorów można wyprowadzić na egzaminie od nowa w razie potrzeby.
Jakie są typowe błędy w zadaniach
Wielu zdających popełnia powtarzalne błędy przy stosowaniu omawianych wzorów. Pierwszym błędem jest zapisywanie, że przekątna kwadratu wynosi d = 2a. Drugim częstym błędem jest zapomnienie o pierwiastku w ostatecznym wyniku. Trzecim błędem jest zapisywanie wysokości trójkąta równobocznego w postaci h = a√3 bez podzielenia wyniku przez 2.
Warto pamiętać, że przekątna prostokąta o bokach a oraz b wyraża się wzorem d = √(a² + b²). Dla boków o długości 30 i 40 przekątna wynosi dokładnie 50. Każdy wynik sprawdzamy kilka razy.
Jak to wygląda na przykładach?
Przykład 1: Przekątna kwadratu
- Podstawiamy długości boków: 10² + 10² = d²
- Obliczamy kwadraty: 100 + 100 = d²
- Dodajemy kwadraty: d² = 200
- Wyciągamy pierwiastek: d = 10√2
- Wartość przybliżona: d = 10√2 ≈ 14,14 cm
Odpowiedź: Przekątna kwadratu d = 10√2 ≈ 14,14 cm. Policz ten przykład w kalkulatorze
Przykład 2: Kwadrat o boku 1
- Podstawiamy długości boków: 1² + 1² = d²
- Obliczamy kwadraty: 1 + 1 = d²
- Dodajemy kwadraty: d² = 2
- Wyciągamy pierwiastek: d = √2
- Wartość przybliżona: d = √2 ≈ 1,41
Odpowiedź: Przekątna kwadratu d = √2 ≈ 1,41. Policz ten przykład w kalkulatorze
Przykład 3: Wysokość trójkąta równobocznego
- Podstawiamy długości boków: 3² + h² = 6²
- Obliczamy kwadraty: 9 + h² = 36
- Odejmujemy kwadrat znanej przyprostokątnej: h² = 36 − 9 = 27
- Wyciągamy pierwiastek: h = 3√3
- Wartość przybliżona: h = 3√3 ≈ 5,20 cm
Odpowiedź: Wysokość trójkąta h = 3√3 ≈ 5,20 cm. Policz ten przykład w kalkulatorze
Przykład 4: Przekątna prostokąta
- Podstawiamy długości boków: 30² + 40² = d²
- Obliczamy kwadraty: 900 + 1600 = d²
- Dodajemy kwadraty: d² = 2500
- Wyciągamy pierwiastek: √2500 = 50, bo 50² = 2500.
Odpowiedź: Przekątna prostokąta d = 50 m. Policz ten przykład w kalkulatorze
Co o Pitagorasie mówi podstawa programowa?
Według rozporządzenie MEN z 28.06.2024 (Dz.U. 2024 poz. 996) uczeń klas VII-VIII "zna i stosuje w sytuacjach praktycznych twierdzenie Pitagorasa (bez twierdzenia odwrotnego)". Ten sam dział wymaga też wyłączania liczby przed znak pierwiastka, dlatego wyniki takie jak 5√2 są w zadaniach zwyczajne. W egzaminie ósmoklasisty 2026 zadanie 20 łączyło obliczenia z użyciem twierdzenia Pitagorasa z działaniami na pierwiastkach i obwodem wielokąta (sprawozdanie CKE z egzaminu 2026).
W praktyce oznacza to, że długości przekątnej kwadratu oraz wysokości trójkąta równobocznego można zawsze obliczyć za pomocą twierdzenia Pitagorasa.
Pytania i odpowiedzi
Jaki jest wzór na przekątną kwadratu?
Wzór na przekątną kwadratu o boku a to d = a√2.
Jaki jest wzór na wysokość trójkąta równobocznego?
Wzór na wysokość trójkąta równobocznego o boku a to h = a√3/2.
Jak obliczyć przekątną prostokąta?
Przekątną prostokąta o bokach a i b oblicza się ze wzoru d = √(a² + b²).
Zobacz też
- Pitagoras z rysunkiem: trójkąt w skali, kwadraty na bokach, kroki
- Twierdzenie Pitagorasa: kalkulator przeciwprostokątnej i przyprostokątnej
- Wyłączanie czynnika przed znak pierwiastka
Zakres: podstawa programowa matematyki dla szkoły podstawowej, rozporządzenie MEN z 28.06.2024 (Dz.U. 2024 poz. 996). Każdy wynik sprawdzamy kilka razy. Autor: Karol Czarniecki, wydawca: Mam Wynik (o autorze).
Co dalej?
Kalkulator działa w przeglądarce i niczego nie zapisuje. Każdy wynik sprawdzamy kilka razy.