Przekątna kwadratu i wynik z pierwiastkiem: twierdzenie Pitagorasa, część 2

0:00 Wstęp

Kwadratowa plansza do gry ma bok 5 centymetrów. Jak długa jest jej przekątna? Tym razem wynik nie będzie liczbą całkowitą i zostanie z pierwiastkiem. Na ekranie widzisz plan tej części i minutę, w której zaczyna się każdy fragment. Możesz od razu przejść do części, której potrzebujesz. Na egzaminie w 2026 roku trzeba było policzyć przeciwprostokątną trójkąta prostokątnego z 2 równymi przyprostokątnymi i wykonać działania na pierwiastkach. Komplet punktów zdobyło nieco ponad 31% zdających.

0:33 Przypomnienie

Przypomnienie z części pierwszej: w trójkącie prostokątnym a do kwadratu plus b do kwadratu równa się c do kwadratu. Jeśli tego nie pamiętasz, obejrzyj część pierwszą. Link jest w rogu ekranu i w opisie. Druga rzecz: pierwiastek z iloczynu. 50 to 25 · 2. Więc pierwiastek z 50 to iloczyn 2 pierwiastków: pierwiastka z 25 i pierwiastka z 2. Pierwiastek z 25 to 5. Zapisujemy: 5 pierwiastków z 2. Szukamy kwadratu liczby, przez który liczba pod pierwiastkiem dzieli się bez reszty, i to jak największego. Dla 50 to 25, bo 50 to 25 · 2. Przed pierwiastek piszemy pierwiastek z tego kwadratu, czyli 5. To się nazywa wyłączanie czynnika przed znak pierwiastka. Zatrzymaj film i zapisz tak samo pierwiastek z 12. Sprawdź: 12 to 4 · 3. Pierwiastek z 4 to 2. Więc pierwiastek z 12 to 2 pierwiastki z 3.

1:36 Zadanie 1: przekątna – 3 sposoby

Wracamy do planszy. Zanim liczysz: co wiemy? Bok kwadratu ma 5 centymetrów. Czego szukamy? Przekątnej. Przekątna dzieli kwadrat na dwa trójkąty prostokątne. Kąt prosty jest w rogu kwadratu, a przekątna leży naprzeciw niego, więc to przeciwprostokątna. Sposób pierwszy: twierdzenie Pitagorasa. 5 do kwadratu plus 5 do kwadratu to 25 + 25, czyli 50. Przekątna to pierwiastek z 50, czyli 5 pierwiastków z 2. Sposób drugi: kwadrat na przekątnej. Budujemy kwadrat, którego bokiem jest przekątna. Składa się z 4 połówek małego kwadratu, czyli z 2 całych. Ma więc pole 2 · 25, czyli 50. Jego bok to pierwiastek z 50. Sposób trzeci: skala. W kwadracie o boku 1 przekątna to pierwiastek z 2, bo 1 + 1 to 2. W kwadracie o boku 5 centymetrów każdy odcinek jest 5 razy dłuższy. Więc przekątna to 5 pierwiastków z 2. Sprawdzam szacowaniem. 7 do kwadratu to 49, a 8 do kwadratu to 64. 50 to o jeden więcej niż 49. Przekątna ma więc trochę ponad 7 centymetrów. Trzy sposoby, jeden wynik: 5 pierwiastków z 2, czyli trochę ponad 7 centymetrów. Na egzaminie zapisz wynik z pierwiastkiem, chyba że zadanie każe go przybliżyć. Szacowanie pomaga sprawdzić, czy wynik ma sens. Zatrzymaj film i powiedz sobie, dlaczego przekątna kwadratu jest zawsze bokiem razy pierwiastek z dwóch. Podpowiedź: spójrz na kwadrat na przekątnej. Kwadrat na przekątnej to zawsze 2 małe kwadraty. Jego pole to 2 razy pole małego kwadratu, więc przekątna to bok razy pierwiastek z 2. Dla boku 5 to 5 pierwiastków z 2.

3:33 Najczęstszy błąd

Teraz najczęstszy błąd. Ktoś liczy pierwiastek z sumy 25 + 25 tak: pierwiastek z 25 plus pierwiastek z 25, czyli 5 + 5, 10. Ale 10 to tyle, co 2 boki razem. Przekątna musi być krótsza. Drugi błąd z egzaminu. Trzeba było policzyć obwód, czyli dodać długości boków. Niektóre boki miały pierwiastek, a inne nie. 3 + 3 pierwiastki z 2 to nie 6 pierwiastków z 2. Takiej sumy nie da się uprościć.

4:07 Zadanie 2: trójkąt z dwoma równymi bokami

Drugie zadanie zrobimy razem. Trójkąt prostokątny ma 2 równe przyprostokątne. Jego przeciwprostokątna ma 8 centymetrów. Jak długie są przyprostokątne? Zanim liczysz: co wiemy? Przeciwprostokątna ma 8 centymetrów, a przyprostokątne są równe. Czego szukamy? Długości przyprostokątnej. Zatrzymaj film i zapisz twierdzenie Pitagorasa dla tego trójkąta. Obie przyprostokątne oznaczmy literą a. Z twierdzenia Pitagorasa a do kwadratu plus a do kwadratu równa się 8 do kwadratu. Czyli 2 takie same kwadraty liczby a mają razem 64. Dzielimy przez 2: a do kwadratu to 32. Więc a to pierwiastek z 32. Zatrzymaj film i zrób ostatni krok samodzielnie: zapisz pierwiastek z 32 z liczbą przed pierwiastkiem. 32 to 16 · 2. Pierwiastek z 16 to 4. Każda przyprostokątna ma 4 pierwiastki z 2 centymetra, czyli około 5 i 7/10 centymetra. Drugi sposób: taki trójkąt to połowa kwadratu, a 8 centymetrów to przekątna tego kwadratu. Kwadrat na przekątnej ma pole 64. Ma 2 razy większe pole niż kwadrat na boku. Kwadrat na boku ma więc pole 32. Jego bok to pierwiastek z 32, czyli 4 pierwiastki z 2. Trzeci sposób: dzielenie pierwiastków. Z zadania pierwszego wiemy, że przekątna to bok razy pierwiastek z 2. Więc bok to 8 podzielić przez pierwiastek z 2. 8 to pierwiastek z 64. Dzielimy liczby pod pierwiastkami: 64 : 2 to 32. Bok to pierwiastek z 32, czyli 4 pierwiastki z 2. Sprawdzam szacowaniem. 5 do kwadratu to 25. 6 do kwadratu to 36. 32 jest między nimi. Przyprostokątna ma więcej niż 5 i mniej niż 6 centymetrów.

6:14 Kroki

Kroki. Pierwszy: znajdź trójkąt prostokątny i jego przeciwprostokątną. Drugi: zapisz twierdzenie Pitagorasa. Nieznany bok oznacz literą. Trzeci: oblicz kwadrat szukanego boku. Czwarty: oblicz pierwiastek. Jeśli liczba pod pierwiastkiem dzieli się przez kwadrat liczby, wybierz największy taki kwadrat. Jego pierwiastek napisz przed znakiem pierwiastka. Piąty: oszacuj wynik i sprawdź, czy ma sens.

6:43 Teraz ty

Teraz ty. Kwadrat ma bok 3 centymetry. Jak długa jest jego przekątna? Odpowiedź A: 6 centymetrów. Odpowiedź B: 18 centymetrów. Odpowiedź C: 3 pierwiastki z 2 centymetrów. Zatrzymaj film, policz i wpisz literę odpowiedzi w komentarzu. Napisz też, który sposób był dla ciebie najjaśniejszy. Odpowiem na każde pytanie.

7:05 Co dalej

Kanał Mam Wynik dopiero się rozwija. Jeśli ta lekcja ci pomogła, kliknij łapkę w górę i subskrybuj. Dzięki temu trafi do kolejnych uczniów, którzy jej potrzebują. Podsumowanie: przekątna kwadratu to bok razy pierwiastek z dwóch, a pierwiastka z sumy nie rozbijamy na sumę pierwiastków. Po prawej stronie jest kolejna lekcja o graniastosłupach. Pokażę w niej, jak policzyć pole powierzchni i objętość graniastosłupa. Kliknij obrazek.