Wartość wyrażenia i mnożenie przez nawias: minus, kwadrat i prostokąt
Wartość 3a(a + 2) − 2a² dla a = −1 to −5. Trzy sposoby: od razu, po kawałku i najpierw uprość. Prostokąt pokazuje mnożenie przez nawias.
Po kliknięciu film wczyta się z YouTube (Google).
Plan lekcji
Jak to policzyć na 3 sposoby?
Wstawiam od razu
Za a wstawiamy −1 w nawiasie i liczymy według kolejności działań; kwadrat liczby ujemnej jest dodatni.
3 · (−1) · ((−1) + 2) − 2 · (−1)² = −3 − 2 = −5
Po kawałku
Liczymy osobno 3a, a + 2 i 2a², wpisujemy wyniki do tabelki i składamy; mniej pomyłek ze znakami.
3a = −3, a + 2 = 1, 2a² = 2; (−3) · 1 − 2 = −5
Najpierw uprość
Mnożymy przez nawias i dodajemy wyrazy podobne, a potem wstawiamy liczbę.
3a(a + 2) − 2a² = a² + 6a; (−1)² + 6 · (−1) = 1 − 6 = −5
Najczęstszy błąd
Uznanie, że (−1)² to −1. Wtedy 2a² = −2, a całość wychodzi −3 − (−2) = −1, czyli inaczej niż −5. Nawias mówi, że do kwadratu podnosimy całe −1, razem z minusem: (−1)² = 1.
Teraz ty
Pomnóż nawias x + 3 przez nawias x + 1. A: x² + 4x + 3, B: x² + 3, C: x² + 4x + 4.
Pokaż odpowiedź
A: x² + 4x + 3. Cztery pola prostokąta: x², 3x, x i 3; 3x + x = 4x. Odpowiedź B pomija dwa środkowe pola, odpowiedź C ma 4 zamiast 3 (dodano 3 + 1 zamiast pomnożyć 3 · 1).
Gdzie to przećwiczyć?
Pobierz kartę pracy (PDF, z odpowiedziami)
Transkrypcja lekcji
Pokaż cały tekst lekcji
Wstęp
Oblicz wartość wyrażenia: 3 a razy nawias, a plus 2, zamykam nawias, minus 2 razy a kwadrat. Za a wstawiamy minus 1. W podobnym zadaniu na egzaminie w 2026 dobrą odpowiedź wybrało tylko 43% uczniów.
Przypomnienie
Najpierw odpowiedź z części pierwszej. Gdy zielonych było o 4 mniej niż czerwonych, wszystkich żetonów było 5 iks minus 4. Dobra odpowiedź to A. Jeśli nie znasz części pierwszej, obejrzyj ją. Link jest w rogu ekranu i w opisie. Na ekranie widzisz plan tej części i minutę, w której zaczyna się każdy fragment.
Minus i kwadrat
Jedna rzecz z niższych klas, która jest potrzebna w tym zadaniu. Minus 1 w nawiasie do kwadratu to minus 1 razy minus 1, czyli plus 1. Kwadrat liczby ujemnej jest zawsze dodatni. Dwa zwroty na dziś. Wartość wyrażenia to liczba, którą dostajesz po wstawieniu liczby za literę. Uprościć wyrażenie to zapisać je krócej, bez nawiasów.
Zadanie 1: wartość wyrażenia – 3 sposoby
Zanim liczysz: co wiemy i czego szukamy? Wiemy, że a jest równe minus 1. Szukamy jednej liczby. Liczbę ujemną zawsze wstawiamy w nawias. Zatrzymaj film i spróbuj policzyć samodzielnie. Sposób pierwszy: wstawiam od razu. 3 razy minus 1, razy nawias, minus 1 + 2, zamykam nawias. W nawiasie wychodzi jeden. 3 razy minus 1 · 1 to minus 3. Teraz druga część. 2 razy minus 1 w nawiasie do kwadratu. Minus 1 w nawiasie do kwadratu to jeden, więc 2 · 1 to 2. Minus 3 − 2 to minus 5. Sposób drugi: liczę po kawałku i wpisuję wyniki do tabelki. 3 a to minus 3. Nawias a plus 2 to jeden. 2 a kwadrat to 2. Składam: minus 3 · 1 − 2. Znowu minus 5. Sposób trzeci: najpierw upraszczam, potem wstawiam. Mnożę 3 a przez a i 3 a przez 2. Wychodzi 3 a kwadrat plus 6 a. Odejmuję 2 a kwadrat i zostaje a kwadrat plus 6 a. Za chwilę pokażę, dlaczego tak można. Teraz wstawiam minus 1. 1 + 6 razy minus 1, czyli 1 − 6. Wychodzi minus 5. Trzy sposoby, jeden wynik.
Kiedy który sposób
Kiedy który sposób? Wstawianie od razu jest dobre przy krótkim wyrażeniu. Liczenie po kawałku chroni przed pomyłką ze znakami. Upraszczanie jest szybsze, gdy trzeba policzyć wartość dla kilku liczb.
Najczęstszy błąd
Teraz pokażę najczęstszy błąd. Ktoś uznał, że minus 1 do kwadratu to minus 1. Wtedy 2 a kwadrat to minus 2. Minus 3 minus minus 2 to minus 3 + 2, czyli minus 1. Dobry wynik to minus 5. Zatrzymaj film i powiedz sobie, dlaczego minus 1 wstawiamy w nawias. Potem włącz film dalej.
Mnożenie przez nawias – prostokąt
Odpowiedź: nawias mówi, że do kwadratu podnosimy całe minus 1, razem z minusem. Teraz druga część takiego zadania. Jak zapisać 3 a razy nawias, a plus 2, bez nawiasu? Pomoże prostokąt. Narysuj prostokąt o bokach 3 a oraz a plus 2. Bok a plus 2 dzielę na dwie części: a oraz 2. Pole całego prostokąta to suma pól 2 mniejszych. Pierwsza część ma pole 3 a razy a, czyli 3 a kwadrat. Druga ma pole 3 a razy 2, czyli 6 a. Razem 3 a kwadrat plus 6 a. To samo bez rysunku: mnożę to, co przed nawiasem, przez każdy składnik w nawiasie. Sprawdzam dla a równego 2. 3 a kwadrat to 12, 6 a to 12, razem 24. 6 · 4 też daje 24.
Dwa nawiasy
Ten sam prostokąt działa dla 2 nawiasów. Nawias iks plus 3, razy nawias iks plus 2. Każdy bok dzielę na dwie części, więc prostokąt ma 4 pola. Pola to iks kwadrat, 2 iks, 3 iks i 6. Dodaję podobne. 2 iks plus 3 iks to 5 iks. Wynik to iks kwadrat plus 5 iks plus 6. Najczęstszy błąd to pominięcie 2 środkowych pól. Wtedy wychodzi iks kwadrat plus 6. Sprawdzam dla iks równego jeden. 4 · 3 to 12, a iks kwadrat plus 6 daje tylko 7. Środkowe pola są potrzebne.
Zadanie 2: zrób ostatni krok
Drugi przykład. 2 iks razy nawias, iks minus 4, zamykam nawias, plus 3 iks. Mnożę i dostaję 2 iks kwadrat minus 8 iks. Do tego dochodzi plus 3 iks. Zatrzymaj film i zrób ostatni krok samodzielnie. Dodaj wyrazy podobne. Minus 8 iks plus 3 iks to minus 5 iks. Wynik to 2 iks kwadrat minus 5 iks. Sprawdzam dla iks równego jeden. Przed uproszczeniem: minus 6 + 3, czyli minus 3. Po uproszczeniu: 2 − 5, też minus 3.
Kroki
Kroki. Pierwszy: liczbę ujemną wstaw w nawias. Drugi: kwadrat liczby ujemnej jest dodatni. Trzeci: przy mnożeniu przez nawias mnóż przez każdy składnik. Czwarty: dodaj wyrazy podobne. Piąty: sprawdź wynik liczbą.
Teraz ty
Teraz ty. Zmieniam jedną liczbę: nawias iks plus 3, razy nawias iks plus 1. A: iks kwadrat plus 4 iks plus 3. B: iks kwadrat plus 3. C: iks kwadrat plus 4 iks plus 4. Zatrzymaj film i wpisz literę odpowiedzi w komentarzu. Napisz też, który sposób był dla ciebie najjaśniejszy. Odpowiem na każde pytanie.
Co dalej
Kanał Mam Wynik dopiero się rozwija. Jeśli ta lekcja ci pomogła, kliknij łapkę w górę i subskrybuj. Dzięki temu trafi do kolejnych uczniów, którzy jej potrzebują. Podsumowanie: liczbę ujemną wstawiamy w nawias, a przy mnożeniu przez nawias mnożymy przez każdy składnik. Po prawej stronie jest playlista z lekcjami do egzaminu ósmoklasisty. W następnej lekcji policzymy pola figur. Kliknij obrazek, żeby ją odtworzyć.
Podstawa programowa (Dz.U. 2017 poz. 356 ze zm., w tym Dz.U. 2024 poz. 996): VII–VIII III.2, VII–VIII IV.1, VII–VIII IV.2, VII–VIII IV.3, VII–VIII IV.4