Twierdzenie Pitagorasa: skąd się bierze i jak go używać w zadaniach

0:00 Wstęp

Plac ma kształt prostokąta. Jeden bok ma 30 metrów, a drugi 40 metrów. Idąc wzdłuż brzegu z jednego rogu do przeciwnego, przejdziesz 70 metrów. Ile metrów przejdziesz na skos, przez środek placu? Na ekranie widzisz plan tej części i minutę, w której zaczyna się każdy fragment. Możesz od razu przejść do części, której potrzebujesz. W 2026 roku twierdzenie Pitagorasa było potrzebne w 3 zadaniach egzaminu ósmoklasisty. W najtrudniejszym z nich uczniowie zdobyli średnio 40% punktów.

0:32 Przypomnienie i słowniczek

Najpierw jedna rzecz z niższych klas. 5 do kwadratu to 5 · 5, czyli 25. To pole kwadratu o boku 5. Pierwiastek z 25 to 5, bo 5 · 5 daje 25. Trójkąt prostokątny ma jeden kąt prosty. Dwa boki, które tworzą ten kąt, to przyprostokątne. Trzeci bok leży naprzeciw kąta prostego. To przeciwprostokątna i jest zawsze najdłuższa.

0:55 Kwadraty na bokach

Narysujmy trójkąt o przyprostokątnych 3 i 4. Na 2 krótszych bokach budujemy kwadraty. Kwadrat na boku 3 ma 9 kratek. Kwadrat na boku 4 ma 16 kratek. Teraz kwadrat na przeciwprostokątnej. Ma 25 kratek, czyli dokładnie tyle, co 9 + 16. Jego bok to 5. To jest twierdzenie Pitagorasa. Przyprostokątne oznaczamy literami a i b. Przeciwprostokątną oznaczamy literą c. W trójkącie prostokątnym a² + b² = c². Działa tylko w trójkącie prostokątnym. Zatrzymaj film i policz. Przyprostokątne mają 6 i 8. Ile ma przeciwprostokątna? 6 do kwadratu to 36. 8 do kwadratu to 64. Razem 100. Pierwiastek ze 100 to 10. Wynik 14 oznacza, że dodano boki, a nie ich kwadraty.

1:49 Dlaczego to działa

Dlaczego to działa? Duży kwadrat ma bok a plus b. Cztery takie same trójkąty układam w nim na dwa sposoby. Za pierwszym razem w środku zostaje jeden kwadrat o boku c. Za drugim razem zostają dwa kwadraty: o boku a i o boku b. Duży kwadrat i cztery trójkąty są w obu ułożeniach takie same. Więc to, co zostało, też ma takie samo pole. Dlatego c do kwadratu równa się a do kwadratu plus b do kwadratu.

2:21 Zadanie 1: plac – 3 sposoby

Wracamy do placu. Zanim liczysz, odpowiedz na trzy pytania. Co wiemy? Czego szukamy? Gdzie jest kąt prosty? Zatrzymaj film i odpowiedz na te pytania. Potem sprawdź ze mną. Droga na skos dzieli plac na dwa trójkąty prostokątne. Kąt prosty jest w rogu placu. Boki placu, 30 i 40 metrów, to przyprostokątne. Droga na skos to przeciwprostokątna. Jej szukamy. Sposób pierwszy: wzór. 30 do kwadratu to 900. 40 do kwadratu to 1600. Razem 2500. Pierwiastek z 2500 to 50, bo 50 · 50 to 2500. Sposób drugi: trójka liczb 3, 4, 5. 30 to 3 · 10. 40 to 4 · 10. Gdy oba boki są 10 razy dłuższe, przeciwprostokątna też jest 10 razy dłuższa: 5 · 10, czyli 50. Sposób trzeci: rysunek w skali. Rysuję plac w zeszycie tak, że 1 centymetr to 10 metrów. Boki mają 3 i 4 centymetry. Mierzę linijką przekątną: około 5 centymetrów, czyli około 50 metrów. Trzy sposoby, jeden wynik: 50 metrów, o 20 metrów mniej niż wzdłuż brzegu. Wzór działa w każdym trójkącie prostokątnym. Trójka liczb jest najszybsza, gdy ją rozpoznasz. Rysunek w skali sprawdza, czy wynik ma sens, ale na egzaminie zapisz obliczenia.

3:53 Zadanie 2: drabina

Drugie zadanie zrobimy razem. Drabina ma długość 10 metrów. Opiera się o ścianę, a jej dolny koniec stoi 6 metrów od ściany. Na jakiej wysokości drabina dotyka ściany? Kąt prosty jest między ścianą a ziemią. Naprzeciw niego leży drabina, więc drabina jest przeciwprostokątną. Szukamy przyprostokątnej, dlatego tym razem odejmujemy: od kwadratu długości drabiny odejmujemy kwadrat odległości od ściany. 10 do kwadratu to 100. 6 do kwadratu to 36. 100 − 36 to 64. Zatrzymaj film i zrób ostatni krok samodzielnie: oblicz pierwiastek z 64. Pierwiastek z 64 to 8, bo 8 · 8 to 64. Drabina dotyka ściany na wysokości 8 metrów. Drugi sposób: 6 to 3 · 2, a 10 to 5 · 2. To trójka 3, 4, 5 razy 2. Brakuje czwórki: 4 · 2 to 8. Trzeci sposób to kratki. Kwadrat zbudowany na drabinie ma 100 kratek. Zabieramy 36 kratek z kwadratu zbudowanego na odcinku 6 metrów. Zostają 64 kratki. Przekładamy je w kwadrat o boku 8.

5:06 Częsty błąd

Teraz częsty błąd. Ktoś dodał kwadraty: 100 + 36 to 136, a pierwiastek ze 136 to prawie 12. Wyszło więcej niż długość całej drabiny. To niemożliwe. Drabina jest przeciwprostokątną, a przeciwprostokątna jest zawsze najdłuższa.

5:26 Kroki

Kroki. Pierwszy: znajdź kąt prosty. Drugi: zaznacz przeciwprostokątną, czyli bok naprzeciw kąta prostego. Trzeci: podnieś znane boki do kwadratu. Czwarty: jeśli szukasz przeciwprostokątnej, dodaj kwadraty. Jeśli szukasz przyprostokątnej, odejmij mniejszy kwadrat od większego. Piąty: oblicz pierwiastek. Szósty: sprawdź, czy przeciwprostokątna jest najdłuższa.

5:52 Teraz ty

Teraz ty. Przyprostokątne trójkąta mają 5 i 12. Ile ma przeciwprostokątna? Odpowiedź A: 17. Odpowiedź B: 13. Odpowiedź C: pierwiastek ze 119. Zatrzymaj film, policz i wpisz literę odpowiedzi w komentarzu. Napisz też, który sposób był dla ciebie najjaśniejszy. Odpowiem na każde pytanie.

6:15 Wsparcie i podsumowanie

Kanał Mam Wynik dopiero się rozwija. Jeśli ta lekcja ci pomogła, kliknij łapkę w górę i subskrybuj. Dzięki temu trafi do kolejnych uczniów, którzy jej potrzebują.

6:27 Co dalej

Podsumowanie: w trójkącie prostokątnym a² + b² = c². Przeciwprostokątna jest zawsze najdłuższa. Po prawej stronie jest część druga. Pokażę w niej zadania z egzaminu, w których wynik zostaje z pierwiastkiem. Kliknij obrazek.