Pole trapezu, trójkąta i równoległoboku – skąd się biorą wzory

0:00 Wstęp

Ogródek ma kształt trapezu. Jego podstawy mają 8 metrów i 4 metry. Lewy bok stoi pod kątem prostym i ma 3 metry, to jest wysokość. Prawy, skośny bok ma 5 metrów. Ile metrów kwadratowych ma ogródek? Podobne zadanie było na egzaminie ósmoklasisty w 2026 roku. Uczniowie zdobyli w nim średnio 57% punktów. W części prac uczniowie liczyli długość skośnego boku, choć nie była potrzebna. Na ekranie widzisz plan tej części i minutę, w której zaczyna się każdy fragment. Możesz od razu przejść do części, której potrzebujesz.

0:33 Przypomnienie i słowniczek

Najpierw jedna rzecz z niższych klas. Pole to liczba kwadratów o boku 1, które mieszczą się w figurze. W prostokąt 4 na 3 wchodzą 3 rzędy po 4 kwadraty, czyli 12. Dlatego pole prostokąta to długość razy szerokość. Wysokość stoi na podstawie pod kątem prostym. Skośny bok to nie wysokość. Pole mówi, ile miejsca jest w środku figury, a obwód to długość jej brzegu. Pole liczymy w metrach kwadratowych, a obwód w metrach.

1:02 Wzory z prostokąta

Każdy wzór na pole bierze się z prostokąta. Weź równoległobok. Odetnij trójkąt wzdłuż wysokości z lewej strony i dosuń go z prawej. Powstaje prostokąt o tej samej podstawie i tej samej wysokości. Pole się nie zmieniło, bo nic nie zabraliśmy i nic nie dodaliśmy. Pole równoległoboku to podstawa razy wysokość. Skośny bok nie jest do tego potrzebny. Zatrzymaj film i policz. Równoległobok ma podstawę 6, wysokość 4 i skośny bok 5. Jakie ma pole? Pole to 6 · 4, czyli 24. Wynik 30 oznacza mnożenie przez skośny bok, a ten bok jest tu niepotrzebny. Teraz trójkąt. Dwa takie same trójkąty, jeden obrócony, składają się w równoległobok. Jeden trójkąt to więc połowa równoległoboku. Dlatego pole trójkąta to podstawa razy wysokość, podzielone przez 2. To samo działa z trapezem. Dwa takie same trapezy, jeden obrócony, tworzą równoległobok. Jego podstawa to suma obu podstaw trapezu. Pole trapezu to suma podstaw razy wysokość, podzielone przez 2.

2:13 Zadanie 1: ogródek – 3 sposoby

Wracamy do ogródka. Zanim liczysz, odpowiedz na trzy pytania. Co wiemy? Czego szukamy? Które liczby są potrzebne? Wiemy, że podstawy mają 8 i 4 metry, a wysokość 3 metry. Szukamy pola. Skośny bok 5 metrów nie jest potrzebny, bo pole liczymy z wysokości. Odkładamy go na bok. Sposób pierwszy: wzór. 8 + 4 to 12. 12 · 3 to 36. 36 : 2 to 18. Ogródek ma 18 metrów kwadratowych. Sposób drugi: dzielę ogródek na prostokąt i trójkąt. Prostokąt 4 na 3 ma 12. Podstawa trójkąta to 8 − 4, czyli 4, a wysokość 3. Trójkąt ma 4 · 3 przez 2, czyli 6. Razem 18. Sposób trzeci: 2 takie same ogródki. Drugi ogródek obracam do góry nogami i przykładam skośnym bokiem do skośnego boku pierwszego. Razem tworzą prostokąt 12 na 3, czyli 36 metrów kwadratowych. Jeden ogródek to połowa, czyli 18. Trzy sposoby, jeden wynik: 18 metrów kwadratowych. Zatrzymaj film i sprawdź, czy 18 to mniej niż pole prostokąta 8 na 3, w którym mieści się cały ogródek.

3:29 Kiedy który sposób

Prostokąt dookoła ma 24, więc 18 pasuje. Wzór jest najszybszy. Podział na części działa nawet wtedy, gdy nie pamiętasz wzoru. 2 ogródki pokazują, skąd we wzorze bierze się dzielenie przez 2.

3:44 Najczęstszy błąd

Teraz pokażę 2 najczęstsze błędy. Ktoś nie podzielił przez 2 i dostał 36. Ktoś inny wziął skośny bok zamiast wysokości i dostał 30. Oba wyniki są większe niż 24, czyli większe niż prostokąt, w którym ogródek się mieści. To niemożliwe. Pole figury nie może być większe niż pole prostokąta dookoła niej.

4:07 Zadanie 2: podstawa z pola

Drugie zadanie zrobimy razem. Trójkąt ma pole 30 centymetrów kwadratowych i wysokość 6 centymetrów. Jaką długość ma podstawa? Trójkąt to połowa prostokąta o tej samej podstawie i wysokości. Prostokąt ma więc 2 razy więcej, czyli 60. Teraz szukamy liczby, która razy 6 daje 60. Zatrzymaj film i zrób ostatni krok samodzielnie. 60 podziel przez wysokość. 60 przez 6 to 10. Podstawa ma 10 centymetrów. Inny sposób: połowa wysokości to 3, a 30 przez 3 to też 10. Sprawdzam: 10 · 6 przez 2 to 30. Wynik 5 oznacza, że zabrakło mnożenia przez 2.

4:50 Kroki

Kroki. Pierwszy: znajdź wysokość, czyli odcinek pod kątem prostym. Drugi: wybierz tylko potrzebne liczby. Trzeci: przy trójkącie i trapezie podziel przez 2. Czwarty: sprawdź, czy pole nie jest większe niż prostokąt dookoła.

5:05 Teraz ty

Teraz ty. Drugi ogródek ma podstawy 10 i 6 metrów, wysokość 3 metry i skośny bok 5 metrów. Jakie ma pole? Odpowiedź A: 24 metry kwadratowe. Odpowiedź B: 48. Odpowiedź C: 40. Zatrzymaj film, policz i wpisz literę odpowiedzi w komentarzu. Napisz też, który sposób był dla ciebie najjaśniejszy. Odpowiem na każde pytanie.

5:31 Co dalej

Kanał Mam Wynik dopiero się rozwija. Jeśli ta lekcja ci pomogła, kliknij łapkę w górę i subskrybuj. Dzięki temu trafi do kolejnych uczniów, którzy jej potrzebują. Podsumowanie: każdy wzór na pole bierze się z prostokąta, a przy trójkącie i trapezie dzielimy przez 2. Po prawej stronie jest część druga o figurach złożonych. Pokażę w niej, jak nie pomylić pola z obwodem. Zapraszam do niej jeszcze dziś. Kliknij obrazek.