Треугольная призма – площадь поверхности и объём
Введи катеты основания и высоту призмы – площадь и объём вычисляются автоматически. Ниже три способа, в том числе «половина коробки».
Три способа, один результат
Способ 1 · Грань за гранью
Сначала третья сторона основания по теореме Пифагора: c² = 3² + 4² = 25, c = 5.
Два основания (треугольники): 2 · 3 · 4 : 2 = 12
Боковые грани: 3 · 5 = 15, 4 · 5 = 20, 5 · 5 = 25
Pc = 12 + 15 + 20 + 25 = 72
Способ 2 · Полоска вокруг
Боковые грани, развёрнутые в один прямоугольник: периметр основания · высота.
Периметр основания: 3 + 4 + 5 = 12; полоска: 12 · 5 = 60
Два основания вместе – это прямоугольник 3 × 4 = 12; Pc = 60 + 12 = 72
Способ 3 · Половина коробки
Прямоугольный параллелепипед 3 × 4 × 5, разрезанный вертикально по диагонали основания, даёт две такие призмы.
Площадь поверхности коробки: 2 · (12 + 15 + 20) = 94; каждая призма получает половину: один треугольник снизу и один сверху (вместе 12), одну грань 3 × 5 и одну 4 × 5, то есть 47.
К этому добавляется новая грань – сечение: 5 · 5 = 25. Pc = 47 + 25 = 72
Объём: площадь основания · высота = 3 · 4 : 2 · 5 = 6 · 5 = 30.
Проверка половиной коробки: 3 · 4 · 5 = 60, половина – это 30.
Внимание: площадь треугольного основания – это a · b : 2. Без деления на 2 получается площадь прямоугольника, то есть в два раза больше.
Как вычислить площадь поверхности треугольной призмы?
У прямой треугольной призмы (graniastosłup trójkątny, точнее graniastosłup prosty) два основания (podstawa) и боковые грани (ściany boczne). Здесь основание – прямоугольный треугольник (trójkąt prostokątny) с катетами (przyprostokątne) a и b, поэтому площадь основания (pole podstawy) – a · b : 2, а два основания вместе – прямоугольник a × b. Боковые грани – три прямоугольника: a × H, b × H и c × H, где c – третья сторона основания, то есть гипотенуза (przeciwprostokątna). Вместе они дают площадь боковой поверхности (pole powierzchni bocznej).
Третью сторону находишь по теореме Пифагора (twierdzenie Pitagorasa): c² = a² + b². Для a = 3 и b = 4: c² = 9 + 16 = 25, c = 5. Площадь полной поверхности (pole powierzchni całkowitej, Pc) при H = 5: Pc = 12 + 15 + 20 + 25 = 72.
В польских учебниках и на экзамене площадь полной поверхности обычно обозначают Pc, объём (objętość) – V, высоту призмы (wysokość) – H. Точка · означает умножение, двоеточие : – деление, а дробную часть отделяют запятой: 2,5. Знак × пишем только между размерами, например коробка 3 × 4 × 5.
Как вычислить объём призмы?
Объём любой прямой призмы – V = площадь основания · высота. Для основания 3 и 4: площадь основания = 3 · 4 : 2 = 6, при H = 5: V = 6 · 5 = 30. Это половина коробки – прямоугольного параллелепипеда (prostopadłościan) 3 × 4 × 5, объём которого 60.
Когда в польской школе изучают призмы?
Объём и площадь поверхности прямых призм и теорема Пифагора входят в программу VII–VIII классов польской школы (szkoła podstawowa – 8-летняя базовая школа; базовая программа (podstawa programowa), Dz.U. 2024 poz. 996). На экзамене восьмиклассника (egzamin ósmoklasisty) в 2025 и 2026 годах были задания по стереометрии – пространственные фигуры (bryły) (отчёт CKE 2025, отчёт CKE 2026; документы на польском).
Какую ошибку делают чаще всего?
Площадь треугольного основания считают как площадь прямоугольника – без деления на 2. Тогда объём получается в два раза больше, чем должен быть. Вторая частая ошибка: пропустить третью боковую грань (ту, что у гипотенузы), потому что сначала нужно вычислить гипотенузу c.
Словарик: русский – польский
- прямая призма – graniastosłup prosty
- треугольная призма – graniastosłup trójkątny
- пространственная фигура – bryła
- основание – podstawa
- площадь основания – pole podstawy
- боковая грань – ściana boczna
- площадь боковой поверхности – pole powierzchni bocznej
- площадь полной поверхности – pole powierzchni całkowitej (Pc)
- объём – objętość (V)
- высота – wysokość (H)
- прямоугольный треугольник – trójkąt prostokątny
- катет – przyprostokątna
- гипотенуза – przeciwprostokątna
- периметр – obwód
- прямоугольный параллелепипед – prostopadłościan
- теорема Пифагора – twierdzenie Pitagorasa
Калькулятор считает в браузере и ничего не отправляет. Вводи числа не более чем с двумя знаками после запятой. Видишь ошибку? Напиши: kontakt@mamwynik.pl.