Przejdź do treści
Mam Wynik

Jak wyłączyć czynnik przed znak pierwiastka? Krok po kroku

Wyłączanie czynnika przed pierwiastek upraszcza zapis, np. √50 = 5√2. Wpisz swój pierwiastek, a kalkulator pokaże, jak go uprościć.

Twoje działanie – zapisz je tak jak w zeszycie

Z klawiatury komputera też możesz pisać: 1/2 tworzy ułamek, ^ – potęgę, sqrt albo √ – pierwiastek, Tab i strzałki przechodzą między polami, Enter liczy. Na ekranie dotykowym wyjdziesz z ułamka, potęgi lub pierwiastka strzałką →.

Tak kalkulator rozumie Twój zapis (podgląd)

Przykłady (kliknij, a zapis wstawi się do edytora i zostanie policzony)

Nie rozumiesz kroku? Zadaj pytanie

Napisz, co jest niejasne. Przycisk „Nie rozumiem tego kroku” przy kroku wpisze jego numer. Nie podawaj imienia ani innych danych osobowych. Pytania czyta redakcja; nic nie pojawia się na stronie bez jej decyzji, a odpowiedzi na częste pytania trafiają do lekcji i na stronę.

Bez e-maila nie odpowiemy osobiście – odpowiedzi na częste pytania pokazujemy w lekcjach i na stronie.

Jeśli masz mniej niż 16 lat, nie podawaj e-maila: wyślij pytanie bez niego (nie odpowiemy wtedy osobiście, ale może zostać tematem lekcji) albo poproś rodzica o napisanie ze swojego adresu.

Administrator: Karol Czarniecki Nadlot. Kontakt: [email protected]. Cel i podstawa: pytanie, rolę i e-mail (jeśli go podasz) wykorzystamy tylko po to, żeby odpowiedzieć (art. 6 ust. 1 lit. f RODO). Przechowujemy do 12 miesięcy. Twoje prawa i pełne dane administratora: Polityka prywatności.

Jeśli podasz e-mail, odpowiadamy zwykle w ciągu 2 dni roboczych.

O czym jest ta strona?

Wyłączanie czynnika przed znak pierwiastka to przekształcenie wyrażenia z użyciem wzoru √(a² · b) = a · √b dla nieujemnych liczb a i b. Pozwala to na uproszczenie liczby znajdującej się pod pierwiastkiem.

Jak wyłączyć czynnik przed znak pierwiastka?

Musisz znaleźć największy kwadrat liczby naturalnej (4, 9, 16, 25, 36, 49...), przez który dzieli się liczba pod pierwiastkiem. Liczbę pod pierwiastkiem zapisujesz jako iloczyn: ten kwadrat razy druga liczba.

Oto przykład dla liczby 50. Liczba 50 = 25 · 2. Zapisujesz √50 = √25 · √2 = 5√2. Podobnie robisz dla liczby 18. Zapisujesz 18 = 9 · 2, więc √18 = 3√2. W przypadku liczby 12 masz 12 = 4 · 3, co daje √12 = 2√3.

Jak dodawać pierwiastki po wyłączeniu czynnika?

Po wyłączeniu czynnika przed znak pierwiastka możesz dodawać do siebie pierwiastki z tą samą liczbą pod znakiem. Jest to możliwe tylko przy tych samych liczbach pod pierwiastkiem.

Sprawdź to na przykładzie sumy √50 + √18. Najpierw zamieniasz √50 na 5√2, a √18 na 3√2. Otrzymujesz wyrażenie 5√2 + 3√2. Ponieważ w obu składnikach występuje pierwiastek z tej samej liczby, sumujesz wartości. Wynik tego działania to 8√2.

Jakich błędów unikać przy pierwiastkowaniu?

Częstym błędem jest zapisywanie √(a + b) jako √a + √b. Zapis ten nie jest prawdziwy dla dodawania pod pierwiastkiem.

Można to sprawdzić na konkretnym przykładzie. Dla wyrażenia √(9 + 16) obliczasz najpierw sumę pod pierwiastkiem. Otrzymujesz √25 = 5. Jeśli dodasz pierwiastki osobno, otrzymujesz √9 + √16 = 3 + 4 = 7. Wyniki są różne. Pamiętaj też, że gdy liczba pod pierwiastkiem nie dzieli się przez kwadrat większy od 1 (np. 15), nie da się jej uprościć.

Jak to wygląda na przykładach?

Przykład 1: √50

  1. Pierwiastek: 5√2 – Szukamy największego kwadratu, przez który dzieli się 50: 50 = 25 · 2, bo 25 = 5².

Wynik: 5√2 (≈ 7,071068). Policz ten przykład w kalkulatorze

Przykład 2: √12

  1. Pierwiastek: 2√3 – Szukamy największego kwadratu, przez który dzieli się 12: 12 = 4 · 3, bo 4 = 2².

Wynik: 2√3 (≈ 3,464102). Policz ten przykład w kalkulatorze

Przykład 3: √50 + √18

  1. Pierwiastek: 5√2 + √18 – Szukamy największego kwadratu, przez który dzieli się 50: 50 = 25 · 2, bo 25 = 5².
  2. Pierwiastek: 5√2 + 3√2 – Szukamy największego kwadratu, przez który dzieli się 18: 18 = 9 · 2, bo 9 = 3².
  3. Dodawanie: 8√2 – Składniki z tym samym pierwiastkiem dodajemy jak jednakowe przedmioty (3 jabłka + 5 jabłek = 8 jabłek): (5 + 3)√2 = 8√2.

Wynik: 8√2 (≈ 11,313708). Policz ten przykład w kalkulatorze

W praktyce oznacza to rozkładanie liczby pod pierwiastkiem na iloczyn z użyciem kwadratu liczby naturalnej i wyznaczanie wyniku ze wzoru.

Pytania i odpowiedzi

Kiedy nie da się uprościć liczby pod pierwiastkiem?

Liczby nie da się uprościć, jeśli nie dzieli się ona przez żaden kwadrat liczby naturalnej większy od 1. Przykładem takiej liczby jest 15.

Czy √(a + b) to to samo co √a + √b?

Nie, jest to typowy błąd. Na przykład √(9 + 16) = √25 = 5, a √9 + √16 = 3 + 4 = 7.

Jaki wzór opisuje wyłączanie czynnika przed znak pierwiastka?

Używa się wzoru √(a² · b) = a · √b dla nieujemnych liczb a i b.

Zobacz też

Zakres: podstawa programowa matematyki dla szkoły podstawowej, rozporządzenie MEN z 28.06.2024 (Dz.U. 2024 poz. 996). Każdy wynik sprawdzamy kilka razy. Autor: Karol Czarniecki, wydawca: Mam Wynik (o autorze).

Co dalej?

Kalkulator działa w przeglądarce i niczego nie zapisuje. Każdy wynik sprawdzamy kilka razy.